Intensidade de Campo Elétrico

Ao iniciarmos nossa jornada aos estudos de eletromagnetismo, vimos as influências de duas ou mais cargas elétricas entre si. Ainda lembre-se que há linhas de campo elétrico que variam de intensidade.

Vamos entender por considerar, por exemplo, uma carga Q_1 fixa em uma posição, e uma segunda carga lentamente move-se em volta da primeira. Notaremos que existe em todo lugar uma força atuando nessa segunda carga.

Em outras palavras, essa segunda carga está evidenciando a existência de um campo de força associado com a carga Q. Chamemos essa segunda carga de carga de teste ou carga de prova Q_t.

Conforme nosso último artigo, a força, é dada pela lei de Coulomb:

\textbf{F}_t=\frac{Q_1Q_t}{4\pi\epsilon_0R^2_{1t}}

O Campo Elétrico

Escrevendo a força como uma força por unidade de carga, tem-se a intensidade de campo elétrico, \textbf{E}_1 surgindo a partir de Q_1:

\textbf{E}_1=\frac{\textbf{F}_t}{Q_t}=\frac{Q_1}{4\pi\epsilon_0R^2_{1t}}

\textbf{E}_1 é interpretado como o vetor força, tendo Q_1 como fonte, que age sobre uma carga de teste positiva. Desta forma, escrevemos a definição deste com a seguinte expressão:

\textbf{E}_1=\frac{\textbf{F}_t}{Q_t}

Na realidade, \textbf{E} é uma função vetorial, na qual é avaliado a intensidade de campo elétrico no ponto onde a carga teste está localizada, e que surge de todas as outras cargas na vizinhança.

Isso significa que o campo elétrico gerado pela própria carga teste não está incluído em \textbf{E}.

A unidade de \textbf{E} corresponde à força por carga (newtons por Coulomb). A medida volt (V) é a unidade joules por coulomb (J/C) ou newton-metros por coulomb (N \cdotm/C. Podemos medir de uma vez a intensidade de campo elétrico nas unidades práticas de volts por metro (V/m).

Portanto, o campo elétrico gerado por uma única carga pontual torna-se:

\textbf{E}=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0R^2}a_R

Lembre-se R é a intensidade do vetor \textbf{R}, o segmento de reta orientado do ponto onde a carga pontual Q está posicionada até o ponto onde \textbf{E} é desejado, e de que a_R é o vetor unitário na direção de \textbf{R}^3.

Desta maneira, se posionarmos arbitrariamente Q_1 no centro de um sistema de coordenadas esféricas, o vetor unitário \textbf{a}_R se torna o vetor unitário radial \textbf{a}_r, e R é r. Logo:

\textbf{E}=\frac{Q_1}{4\pi\epsilon_0r^2}\textbf{a}_r

O campo possui um componente radial único e sua relação com a lei do inverso do quadrado é óbvia.

Se considerarmos uma carga que não esteja na origem do nosso sistema de coordenadas, o campo não mais possuirá simetria esférica, e então utilizaremos do mesmo modo, coordenadas cartesianas.

Para uma carga r'=x'\textbf{a}_x+y'\textbf{a}_y+z'\textbf{a}_z, de acordo com a imagem a seguir, encontramos o campo em um ponto genérico r=x\textbf{a}_x+y\textbf{a}_y+z\textbf{a}_z expressando \textbf{R} como \textbf{r}-\textbf{r}', e então

\textbf{E}(\textbf{r})=\frac{Q}{4\pi\epsilon_o|\textbf{r}-\textbf{r}'|^2}\frac{\textbf{r}-\textbf{r}'}{|\textbf{r}-\textbf{r}'|}=\frac{Q(\textbf{r}-\textbf{r}')}{4\pi\epsilon_o|\textbf{r}-\textbf{r}'|^3}

=\frac{Q\left[ (x-x')\textbf{a}_x + (y-y')\textbf{a}_y + (z-z')\textbf{a}_z \right]}{4\pi\epsilon_0\left[ (x-x')^2 + (y-y')^2 + (z-z')^2 \right]^{3/2}}

Preliminarmente, definimos um campo vetorial como uma função vetorial de um vetor posição, e isso é evidenciado quando simbolizamos \textbf{E} em uma notação funcional por \textbf{E}(\textbf{r}).

Como então as forçãs de Coulomb são lineares, a intensidade de campo elétrico que tem como fonte duas cargas pontuais Q_1 em \textbf{r}_1 e Q_2 em \textbf{r}_2, é a soma das forças sobre Q_t causadas por Q_1 e Q_2 agindo sozinhas, ou

\textbf{E}(\textbf{r})=\frac{Q_1}{4\pi\epsilon_0|\textbf{r}-\textbf{r}_1|^2}\textbf{a}_1+\frac{Q_2}{4\pi\epsilon_0|\textbf{r}-\textbf{r}_2|^2}\textbf{a}_2

Onde \textbf{a}_1 e \textbf{a}_2 são vetores unitários nas direções e sentidos de (\textbf{r}-\textbf{r}_1) e (\textbf{r}-\textbf{r}_2), respectivamente, conforme ilustrado abaixo:

Se adicionarmos mais cargas em outras posições, o campo decorrente de n cargas pontuais é:

\textbf{E}(\textbf{r})=\sum^n_{m=1}\frac{Q_m}{4\pi\epsilon_0|\textbf{r}-\textbf{r}_m|^2}\textbf{a}_m

Exemplo

De acordo com a última equação, da soma de cargas pontuais, vamos encontrar \textbf{E} em P(1, 1, 1) causado por quatro cargas idênticas de 3 nC (nanocoulombs) posicionadas em P_1(1, 1, 0), P_2(-1, 1, 0), P_3(-1, -1, 0) e P_4(1, -1, 0).

Solução

Descobrimos que \textbf{r}=\textbf{a}_x+\textbf{a}_y+\textbf{a}_z, \textbf{r}_1=\textbf{a}_x+\textbf{a}_y; portanto:

\textbf{r}-\textbf{r}_1\\=(\textbf{r}_{\textbf{a}x}-\textbf{r}_{1\textbf{a}x})+(\textbf{r}_{\textbf{a}y}-\textbf{r}_{1\textbf{a}y})+(\textbf{r}_{\textbf{a}z}-\textbf{r}_{1\textbf{a}z})\\
=(1-1)_{\textbf{a}x}+(1-1)_{\textbf{a}y}+(1-0)_{\textbf{a}z}\\
=1_{\textbf{a}z}

A intensidade de \textbf{r}-\textbf{r}_1 é:

|\textbf{r}-\textbf{r}_1|=\sqrt{(0)^2+(0)^2+(1)^2}\\
=\sqrt{1}\\
=1

Desta mesma maneira, calculamos as intensidades para |\textbf{r}-\textbf{r}_2| = \sqrt{5}, |\textbf{r}-\textbf{r}_3| = \sqrt{3} e |\textbf{r}-\textbf{r}_4| = \sqrt{5}.

Para obter o vetor de força:

\frac{3\times10^{-9}}{4\pi\epsilon_0}=\frac{3\times10^{-9}}{4\pi\cdot8,854\times10^{-12}}=26,96\text{ V}\cdot \text{m}

Podemos utilizar a equação de soma de cargas:

\textbf{E}(\textbf{r})=\sum^n_{m=1}\frac{Q_m}{4\pi\epsilon_0|\textbf{r}-\textbf{r}_m|^2}\textbf{a}_m

\textbf{E}=26,96\left [\frac{\textbf{a}_z}{1}\frac{1}{1^2}+\frac{2\textbf{a}_x+\textbf{a}_z}{\sqrt{5}}\frac{1}{(\sqrt{5})^2}+\frac{2\textbf{a}_x+2\textbf{a}_y+\textbf{a}_z}{3}\frac{1}{3^2}+\frac{2\textbf{a}_y+\textbf{a}_z}{\sqrt{5}}\frac{1}{(\sqrt{5})^2}\right ]

ou

\textbf{E}=6,82\textbf{a}_x+6,82\textbf{a}_y+32,8\textbf{a}_z\text{ V/m}