Lei Experimental de Coulomb

Antes mesmo da Era Comum, ao menos 600 a.C., há evidências de conhecimento sobre a eletricidade estática. O verbete “eletricidade” deriva-se da palavra grega âmbar, que nada mais é do que uma resina, do qual, ele atraía alguns materiais quando esfregados.

Resumidamente, após séculos, o Engenheiro Coronel Charles Coulomb, após sucetivos experimentos, inventou um dispositivo sensível que determinaria a “quantidade” de força exercida entre dois objetos.

O que tornou ainda mais incrível no resultado do seu experimento, foi a grande similaridade com a lei gravitacional de Newton.

F=k\frac{Q_1 Q_2}{R^2}

onde F é a força entre as cargas, Q_1​ e q_2​ são as magnitudes das cargas, R é a distância entre elas, e k é a constante eletrostática, que é uma medida das propriedades do meio que envolve as cargas. Essa equação nos diz exatamente como calcular a força entre duas cargas elétricas.

k=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}

A constante k na equação da lei de Coulomb é conhecida como constante eletrostática ou constante de Coulomb. Ela é uma quantidade que depende do meio em que as cargas elétricas estão imersas.

\epsilon_0 é a permissividade elétrica do vácuo, que é uma constante fundamental da física, e tem o valor medido em faradas por metro (F/m),

\epsilon_0=8,854\times10^{-12}
=\frac{1}{36\pi}10^{-9}\textup{ F/m}

Então, a constante de Coulomb é uma maneira de ajustar a equação da lei de Coulomb para diferentes meios.

Por fim, a equação de Coulomb é

F=k\frac{Q_1 Q_2}{4\pi\epsilon_0R^2}

Atividade

Uma carga Q_A = -20 \mu \textup{C} está posicionada em A(-6, 4, 7) e uma carga Q_B = -50 \mu \textup{C} está em B(5, 8, -2) no espaço livre. Se as distâncias são dadas em metros, encontre:
a) Vetor R em AB
b) Distância R em AB
c) Determine o vetor força exercido em Q_A por Q_B se \epsilon_0=10^{-9}/36\pi

Resolução

a) Vetor R em AB

\vec{R}=\vec{B}-\vec{A}
\begin{pmatrix} 5 \\8 \\-2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -6 \\ 4 \\ 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11 \\ 4 \\ -9 \end{pmatrix}

b) Distância R em AB

\sqrt{11^2+4^2+(-9)^2} = \sqrt{218} = 14,76 \textup{m}

c) Determine o vetor força exercido em Q_A por Q_B se \epsilon_0=10^{-9}/36\pi

k = \frac{1}{4\pi \left ( \frac{10^{-9}}{36\pi} \right)}
k = \frac{36\pi}{10^{-9}}
k=3,6\times10^{17}\textup{N}\cdot\textup{m}^2/\textup{C}^2

Agora podemos calcular a força elétricas F:

F=3,6\times10^{17}\frac{(-20\times10^{-6}) \cdot (-50\times10^{-6})}{(\sqrt{218})^2}
F=-1,651376147\times10^{15}\textup{N}

Demonstração em Python

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Função para calcular o campo elétrico gerado por uma carga em uma posição específica
def E(q, r0, x, y):
    """Retorna o vetor campo elétrico E=(Ex,Ey) devido à carga q em r0."""
    den = np.hypot(x - r0[0], y - r0[1])**3
    return q * (x - r0[0]) / den, q * (y - r0[1]) / den

# Posições das cargas
qa = -20e-6  # Carga Qa em microCoulombs
qb = 50e-6   # Carga Qb em microCoulombs
ra = np.array([-6, 4])  # Posição de Qa
rb = np.array([5, 8])    # Posição de Qb

# Grid de pontos x, y
nx, ny = 1000, 1000
x = np.linspace(-30, 30, nx)
y = np.linspace(-30, 30, ny)
X, Y = np.meshgrid(x, y)

# Calculando o campo elétrico devido a Qa e Qb
Ex, Ey = np.zeros((ny, nx)), np.zeros((ny, nx))
for charge, pos in [(qa, ra), (qb, rb)]:
    ex, ey = E(charge, pos, x=X, y=Y)
    Ex += ex
    Ey += ey

# Criando o gráfico
fig, ax = plt.subplots()

# Plotando as linhas de campo elétrico
color = 2 * np.log(np.hypot(Ex, Ey))
ax.streamplot(x, y, Ex, Ey, color=color, linewidth=0.5, cmap=plt.cm.inferno,
              density=4, arrowstyle='->', arrowsize=1.5)

# Adicionando pontos para as cargas
ax.scatter(ra[0], ra[1], color='red', label='Carga Qa')
ax.scatter(rb[0], rb[1], color='blue', label='Carga Qb')

# Configurações adicionais
ax.set_xlabel('$x$')
ax.set_ylabel('$y$')
ax.set_title('Linhas de Campo Elétrico entre as Cargas')
ax.set_xlim(-30, 30)
ax.set_ylim(-30, 30)
ax.set_aspect('equal')
ax.legend()

plt.show()

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