Os números complexos requer uma certa habilidade em álgebra, trigonometria e afins para ser útil em análise de circuitos e em engenharia elétrica.
Embora haja programas de computadores, aplicativos e calculadoras, é indispensável estar familiarizado ao lidar com aplicações números complexos.
Significado
Ao solucionarmos equações, por exemplo, de segundo grau, nos deparamos com um número irracional.
A equação de segundo grau x^2+1=0 se depara com o seguinte resultado: x=\pm \sqrt-1.
Como não existe raiz quadrada de um número negativo no conjunto dos números reais \mathbb{R}, a convenção utiliza-se da notação i^2=-1 para representar esse número negativo.
O resultado dessa equação seria x= \pm i. Esse número i é conhecido como unidade imaginária.
Plano complexo
Geometricamente, no plano complexo, um número complexo z pode ser escrito pela equação:
z=x+iy
O número i é gual a \sqrt-1; o número x é a parte real de z; y é a parte imaginária de z.
x=\textup{Re}(z),
Eixo horizontal
y=\textup{Im}(z)
Eixo Vertical
\frac{1}{i}=-1
i^2=-1
i^3=i\cdot i^2=i
i^4=i^2\cdot i^2=1
i^5=i\cdot i^4=i
i^{n+4}=j^n
Como no curso de engenharia i é frequentemente usado para representar a corrente, então substitui-se pela representação j.
Uma outra maneira de representar o número complexo z é especificar sua magnitude r e o ângulo de fase \theta que ele forma com o eixo real, conforme o último artigo.
z=\left | z \right | \angle \theta = r \angle \theta
r = \sqrt{x^2+y^2}
em que r (magnitude)
\theta=\tg^{-1}\frac{y}{x}
e \theta o ângulo de fase
ou
x = r \cos \theta
y = r \textup{ sen } \theta
z = x+jy=r\angle \theta=r \cos \theta +jr \textup{ sen }\theta
Conversão de plano complexo (retangular) para polar
Na conversão da forma retangular para a polar, deve-se ter o cuidado em determinar o valor correto de \theta.
z=x+jy | \theta = \tg^{-1}\frac{y}{x} | 1º quadrante |
z=-x+jy | \theta = 180º-\tg^{-1}\frac{y}{x} | 2º quadrante |
z=-x-jy | \theta = 180º+\tg^{-1}\frac{y}{x} | 3º quadrante |
z=x-jy | \theta = 360º-\tg^{-1}\frac{y}{x} | 4º quadrante |
Terceira maneira de representação
A terceira maneira de representar o número complexo é a forma exponencial.
z=re^{j\theta}
Essa maneira é a mesma que a forma polar devido a mesma magnitude r e ângulo \theta.
As três formas de representação de um número complexo são resumidas a seguir, a saber respectivamente: forma retangular, forma polar e forma exponencial.
z=x+jy
\left ( x=r \cos \theta, y= \textup{sen } \theta \right )
z=r \angle \theta
\left ( r=\sqrt{x^2+y^2}, \theta=\tg^{-1}\frac{y}{x} \right )
z=re^{j\theta}
\left ( r= \sqrt{x^2+y^2}, \theta=\tg^{-1}\frac{y}{x} \right )
Exemplo
Expresse os seguintes números complexos na forma polar e exponencial:
(a) z_1=6+j8
(b) z_2=6-j8
(c) z_3=-6+j8
(d) z_4=-6-j8
Resolução
(a) Para z_1=6+j8 (1º quadrante),
r_1=\sqrt{6^2+8^2}=10,\\ \theta_1=\tg^{-1}\frac{8}{6}=53,13º
Então a forma polar é 10\angle 53,13º, e a forma exponencial é 10e^{53,13º}.
(b) Para z_1=6-j8 (4º quadrante),
r_2=\sqrt{6^2+(-8)^2}=10\\ \theta_2 = 360º-\tg^{-1}\frac{y}{x}=360º-53,13º=306,87º
Desta maneira, a forma polar é 10\angle 306,87º, e a forma exponencial é 10e^{306,87º}. No entanto, a forma polar pode ser também escrita como 10\angle -53,13, e a forma exponencial é 10e^{-53,13º}.
(c) Para z_3=-6+j8 (2º quadrante),
r_1=\sqrt{(-6)^2+8^2}=10\\ \theta = 180º-\tg^{-1}\frac{y}{x}=180º-53,13º=126,87º
Assim, a forma polar é 10\angle 126,87º, e a forma exponencial é 10e^{126,87}.
(d) Por último, para z_4=-6+j8 (3º quadrante),
r_1=\sqrt{(-6)^2+8^2}=10\\ \theta = 180º+\tg^{-1}\frac{y}{x}=180º+53,13º=233,13º
Portanto, a forma polar é 10\angle 233,13º, e a forma exponencial é 10e^{233,13}.
Para compreender as equações acima, veja a seguir o plano polar de cada magnitude r e ângulo \theta.

Conclusão
Os números complexos tem grande serventia em diversas áreas da engenharia, física e química. Na engenharia elétrica os números complexos têm uma vasta aplicação para eletromagnetismo, sinais, circuitos analógicos e etc.
Portanto, o conhecimento deste assunto é imprescindível para qualquer interesse em circuitos elétricos, neste caso, daremos sequência no estudo de eletricidade.