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    Números Complexos e Aplicações

    Os números complexos requer uma certa habilidade em álgebra, trigonometria e afins para ser útil em análise de circuitos e em engenharia elétrica.

    Embora haja programas de computadores, aplicativos e calculadoras, é indispensável estar familiarizado ao lidar com aplicações números complexos.

    Significado

    Ao solucionarmos equações, por exemplo, de segundo grau, nos deparamos com um número irracional.

    A equação de segundo grau x^2+1=0 se depara com o seguinte resultado: x=\pm \sqrt-1.

    Como não existe raiz quadrada de um número negativo no conjunto dos números reais \mathbb{R}, a convenção utiliza-se da notação i^2=-1 para representar esse número negativo.

    O resultado dessa equação seria x= \pm i. Esse número i é conhecido como unidade imaginária.

    Plano complexo

    Geometricamente, no plano complexo, um número complexo z pode ser escrito pela equação:

    z=x+iy

    O número i é gual a \sqrt-1; o número x é a parte real de z; y é a parte imaginária de z.

    x=\textup{Re}(z),

    Eixo horizontal

    y=\textup{Im}(z)

    Eixo Vertical

    \frac{1}{i}=-1
    i^2=-1
    i^3=i\cdot i^2=i
    i^4=i^2\cdot i^2=1
    i^5=i\cdot i^4=i
    i^{n+4}=j^n

    Como no curso de engenharia i é frequentemente usado para representar a corrente, então substitui-se pela representação j.

    Uma outra maneira de representar o número complexo z é especificar sua magnitude r e o ângulo de fase \theta que ele forma com o eixo real, conforme o último artigo.

    z=\left | z \right | \angle \theta = r \angle \theta
    r = \sqrt{x^2+y^2}

    em que r (magnitude)

    \theta=\tg^{-1}\frac{y}{x}

    e \theta o ângulo de fase

    ou

    x = r \cos \theta
    y = r \textup{ sen } \theta
    z = x+jy=r\angle \theta=r \cos \theta +jr \textup{ sen }\theta

    Conversão de plano complexo (retangular) para polar

    Na conversão da forma retangular para a polar, deve-se ter o cuidado em determinar o valor correto de \theta.

    z=x+jy\theta = \tg^{-1}\frac{y}{x}1º quadrante
    z=-x+jy\theta = 180º-\tg^{-1}\frac{y}{x}2º quadrante
    z=-x-jy\theta = 180º+\tg^{-1}\frac{y}{x}3º quadrante
    z=x-jy\theta = 360º-\tg^{-1}\frac{y}{x}4º quadrante
    Veja a imagem a seguir para compreender os quadrantes no plano polar.

    Terceira maneira de representação

    A terceira maneira de representar o número complexo é a forma exponencial.

    z=re^{j\theta}

    Essa maneira é a mesma que a forma polar devido a mesma magnitude r e ângulo \theta.

    As três formas de representação de um número complexo são resumidas a seguir, a saber respectivamente: forma retangular, forma polar e forma exponencial.

    z=x+jy
    \left ( x=r \cos \theta, y= \textup{sen } \theta \right )
    z=r \angle \theta
    \left ( r=\sqrt{x^2+y^2}, \theta=\tg^{-1}\frac{y}{x} \right )
    z=re^{j\theta}
    \left ( r= \sqrt{x^2+y^2}, \theta=\tg^{-1}\frac{y}{x} \right )

    Exemplo

    Expresse os seguintes números complexos na forma polar e exponencial:
    (a) z_1=6+j8
    (b) z_2=6-j8
    (c) z_3=-6+j8
    (d) z_4=-6-j8

    Resolução

    (a) Para z_1=6+j8 (1º quadrante),

    r_1=\sqrt{6^2+8^2}=10,\\
    \theta_1=\tg^{-1}\frac{8}{6}=53,13º

    Então a forma polar é 10\angle 53,13º, e a forma exponencial é 10e^{53,13º}.

    (b) Para z_1=6-j8 (4º quadrante),

    r_2=\sqrt{6^2+(-8)^2}=10\\
    \theta_2 = 360º-\tg^{-1}\frac{y}{x}=360º-53,13º=306,87º

    Desta maneira, a forma polar é 10\angle 306,87º, e a forma exponencial é 10e^{306,87º}. No entanto, a forma polar pode ser também escrita como 10\angle -53,13, e a forma exponencial é 10e^{-53,13º}.

    (c) Para z_3=-6+j8 (2º quadrante),

    r_1=\sqrt{(-6)^2+8^2}=10\\
    \theta = 180º-\tg^{-1}\frac{y}{x}=180º-53,13º=126,87º

    Assim, a forma polar é 10\angle 126,87º, e a forma exponencial é 10e^{126,87}.

    (d) Por último, para z_4=-6+j8 (3º quadrante),

    r_1=\sqrt{(-6)^2+8^2}=10\\
    \theta = 180º+\tg^{-1}\frac{y}{x}=180º+53,13º=233,13º

    Portanto, a forma polar é 10\angle 233,13º, e a forma exponencial é 10e^{233,13}.

    Para compreender as equações acima, veja a seguir o plano polar de cada magnitude r e ângulo \theta.

    Plano polar de z e sua magnitude r e ângulo teta.

    Conclusão

    Os números complexos tem grande serventia em diversas áreas da engenharia, física e química. Na engenharia elétrica os números complexos têm uma vasta aplicação para eletromagnetismo, sinais, circuitos analógicos e etc.

    Portanto, o conhecimento deste assunto é imprescindível para qualquer interesse em circuitos elétricos, neste caso, daremos sequência no estudo de eletricidade.

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