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Matemática - 8 de novembro de 2022

Números Complexos e Aplicações

Os números complexos requerem o conhecimento para aplicações em diversos campos como física, química, engenharia e, principalmente, em nosso estudo de circuitos e engenharia elétrica.

Os números complexos requer uma certa habilidade em álgebra, trigonometria e afins para ser útil em análise de circuitos e em engenharia elétrica.

Embora haja programas de computadores, aplicativos e calculadoras, é indispensável estar familiarizado ao lidar com aplicações números complexos.

Significado

Ao solucionarmos equações, por exemplo, de segundo grau, nos deparamos com um número irracional.

A equação de segundo grau x^2+1=0 se depara com o seguinte resultado: x=\pm \sqrt-1.

Como não existe raiz quadrada de um número negativo no conjunto dos números reais \mathbb{R}, a convenção utiliza-se da notação i^2=-1 para representar esse número negativo.

O resultado dessa equação seria x= \pm i. Esse número i é conhecido como unidade imaginária.

Plano complexo

Geometricamente, no plano complexo, um número complexo z pode ser escrito pela equação:

z=x+iy

O número i é gual a \sqrt-1; o número x é a parte real de z; y é a parte imaginária de z.

x=\textup{Re}(z),

Eixo horizontal

y=\textup{Im}(z)

Eixo Vertical

\frac{1}{i}=-1
i^2=-1
i^3=i\cdot i^2=i
i^4=i^2\cdot i^2=1
i^5=i\cdot i^4=i
i^{n+4}=j^n

Como no curso de engenharia i é frequentemente usado para representar a corrente, então substitui-se pela representação j.

Uma outra maneira de representar o número complexo z é especificar sua magnitude r e o ângulo de fase \theta que ele forma com o eixo real, conforme o último artigo.

z=\left | z \right | \angle \theta = r \angle \theta
r = \sqrt{x^2+y^2}

em que r (magnitude)

\theta=\tg^{-1}\frac{y}{x}

e \theta o ângulo de fase

ou

x = r \cos \theta
y = r \textup{ sen } \theta
z = x+jy=r\angle \theta=r \cos \theta +jr \textup{ sen }\theta

Conversão de plano complexo (retangular) para polar

Na conversão da forma retangular para a polar, deve-se ter o cuidado em determinar o valor correto de \theta.

z=x+jy\theta = \tg^{-1}\frac{y}{x}1º quadrante
z=-x+jy\theta = 180º-\tg^{-1}\frac{y}{x}2º quadrante
z=-x-jy\theta = 180º+\tg^{-1}\frac{y}{x}3º quadrante
z=x-jy\theta = 360º-\tg^{-1}\frac{y}{x}4º quadrante
Veja a imagem a seguir para compreender os quadrantes no plano polar.

Terceira maneira de representação

A terceira maneira de representar o número complexo é a forma exponencial.

z=re^{j\theta}

Essa maneira é a mesma que a forma polar devido a mesma magnitude r e ângulo \theta.

As três formas de representação de um número complexo são resumidas a seguir, a saber respectivamente: forma retangular, forma polar e forma exponencial.

z=x+jy
\left ( x=r \cos \theta, y= \textup{sen } \theta \right )
z=r \angle \theta
\left ( r=\sqrt{x^2+y^2}, \theta=\tg^{-1}\frac{y}{x} \right )
z=re^{j\theta}
\left ( r= \sqrt{x^2+y^2}, \theta=\tg^{-1}\frac{y}{x} \right )

Exemplo

Expresse os seguintes números complexos na forma polar e exponencial:
(a) z_1=6+j8
(b) z_2=6-j8
(c) z_3=-6+j8
(d) z_4=-6-j8

Resolução

(a) Para z_1=6+j8 (1º quadrante),

r_1=\sqrt{6^2+8^2}=10,\\
\theta_1=\tg^{-1}\frac{8}{6}=53,13º

Então a forma polar é 10\angle 53,13º, e a forma exponencial é 10e^{53,13º}.

(b) Para z_1=6-j8 (4º quadrante),

r_2=\sqrt{6^2+(-8)^2}=10\\
\theta_2 = 360º-\tg^{-1}\frac{y}{x}=360º-53,13º=306,87º

Desta maneira, a forma polar é 10\angle 306,87º, e a forma exponencial é 10e^{306,87º}. No entanto, a forma polar pode ser também escrita como 10\angle -53,13, e a forma exponencial é 10e^{-53,13º}.

(c) Para z_3=-6+j8 (2º quadrante),

r_1=\sqrt{(-6)^2+8^2}=10\\
\theta = 180º-\tg^{-1}\frac{y}{x}=180º-53,13º=126,87º

Assim, a forma polar é 10\angle 126,87º, e a forma exponencial é 10e^{126,87}.

(d) Por último, para z_4=-6+j8 (3º quadrante),

r_1=\sqrt{(-6)^2+8^2}=10\\
\theta = 180º+\tg^{-1}\frac{y}{x}=180º+53,13º=233,13º

Portanto, a forma polar é 10\angle 233,13º, e a forma exponencial é 10e^{233,13}.

Para compreender as equações acima, veja a seguir o plano polar de cada magnitude r e ângulo \theta.

Plano polar de z e sua magnitude r e ângulo teta.

Conclusão

Os números complexos tem grande serventia em diversas áreas da engenharia, física e química. Na engenharia elétrica os números complexos têm uma vasta aplicação para eletromagnetismo, sinais, circuitos analógicos e etc.

Portanto, o conhecimento deste assunto é imprescindível para qualquer interesse em circuitos elétricos, neste caso, daremos sequência no estudo de eletricidade.