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Engenharia - Engenharia Elétrica - 1 de novembro de 2022

Relações de Fase de Corrente Alternada

Entendemos alguns detalhes importantes das senoides nos últimos artigos, neste momento expandiremos o conceito para a relação de fase de corrente alternada, o caso de duas ou mais senoides operando na mesma frequência.

Considere duas senoides:

v_1(t)=V_m \textup{ sen } \omega t \\
v_2(t)=V_m \textup{ sen } (\omega t + \theta )

De acordo com a figura, o ponto onde se inicia v_2 é primeiro comparado a v_1. Portanto, podemos nos referir que v_2 está adiantado de v_1 por \theta.

Da mesma forma v_1 está atrasado de v_2 por \theta.

Agora vem o pulo do gato, se \theta \neq 0, também podemos dizer que v_1 e v_2 estão fora de fase.

Entretanto, se \theta = 0 então v_1 e v_2 estão em fase, pois elas alcançaram a excitação mínima e máxima exatamente ao mesmo tempo.

Ambas tensões, v_1 e v_2 operam na mesma frequência e não precisam ter a mesma amplitude. A diferença angular precisa ter uma magnitude menor de 180º para determinar o adiantamento ou atraso.

Função Seno e Cosseno

Ocasionalmente, embora as ondas senoidais seja expressa como funções seno, ela também pode ser expresa em forma de cossenos. Quando comparamos duas senoides, é oportuno expressar ambas como seno ou cosseno com amplitudes positivas.

Posteriormente, podemos usar as relações trigonométricas da seguinte maneira:

\textup{sen}(-\omega t)=-\textup{sen}(\omega t)\\
\cos(-\omega t)=-\cos(\omega t)\\
\textup{sen}(\omega t \pm 180º)=-\textup{sen } \omega t\\
\cos(\omega t \pm 180º)=-\cos \omega t\\
\textup{sen}(\omega t \pm 90º)=\pm \cos \omega t\\
\cos(\omega t \pm 90º)=\mp \textup{sen } \omega t\\

Logo, ao notar essas relações, podemos transformar facilmente qualquer senoide de seno para cosseno e vice-versa.

Exemplo

Calcule o ângulo de fase entre as seguintes expressões:

v_1(t)=-10\cos(\omega t+50º)\\
v_2(t)=12\textup{ sen}(\omega t-10º)

Resolução

Método 1

Com a finalidade de comparar v_1 e v_2, precisamos expressá-las da mesma forma. Lembre-se das relações trigonométricas no quadro acima, daí podemos expressar em forma de cosseno com amplitude positivas.

v_1(t)=-10\cos(\omega t+50º) = v_1(t)=10\cos(\omega t+50º - 180º)\\
\textup{ou}\\
v_1=10\cos (\omega t-130º) = 10\cos(\omega t+230º)
v_2=12\textup{ sen}(\omega t-10º) = 12\cos(\omega t-10º-90º)\\
\textup{ou}\\
v_2=12\cos(\omega t-100º)

Podemos deduzir que a partir das equações acima, a diferença de fase entre v_1 e v_2 é de 30º. Sendo assim, podemos escrever v_2 como:

v_2=12\cos(\omega t-130º+30º)\\
\textup{ou}\\
v_2=12\cos(\omega t+260º)=v_2=12\cos(\omega +230º+30º)

Agora comparar as duas equações, nota-se claramente que v_2 está adiantado de v_1 por 30º.

Método 2

Podemos expressar v_1 em forma de seno:

v_1(t)=-10\cos(\omega t+50º) = 10 \textup{ sen}(\omega t+50º - 90º)\\
v_1=10\textup{ sen} (\omega t-40º) = 10\textup{ sen}(\omega t-10º-30º)

Mas,

v_2= 12\textup{ sen}(\omega t-10º)

Se compararmos as duas equações, percebemos que v_1 está atrasado em relação a v_2 por 30º.