Volume de Campo Elétrico

Para compreendermos o volume de campo elétrico, tente visualizar uma região do espaço preenchida com um número imenso de cargas separadas por distâncias insignificante.

Percebemos que podemos substituir essa distribuição de partículas muito pequenas por uma distribuição contínua e suave descrita por uma densidade volumétrica de carga.

Assim como descrevemos a água com uma densidade correspondente a 1 g/cm³ apesar de ela ser constituída por partículas de tamanho atômico e molecular.

Na verdade, não se constitui em limitação alguma, porque os resultados finais que importam são sempre aqueles que dizem respeito a uma corrente em uma antena receptora, uma tensão em um circuito eletrônico ou uma carga em um capacitor ou, algum fenômeno macroscópico.

Definição

Denotamos densidade volumétrica de carga por \rho_v, usando a unidade de coulombs por metro cúbico (C/m³).

A pequena quantidade de carga \Delta Q em um pequeno volume \Delta v é: \Delta Q= \rho_v \Delta v.

Podemos definir \rho_v matematicamente pela utilização de um processo de limite na equação acima, de forma que,

\rho_v=\lim_{\Delta_v\rightarrow0}\frac{\Delta Q}{\Delta v}

A carga total dentro de um volume finito é obtida integrando-se por todo esse volume,

Q=\int_{\text{vol}}\rho_v dv

Apenas um sinal de integração é usualmente indicado, mas a diferencial dvsignifica integração por um volume e, logo, uma integração tripla.

Exemplo

Encontre a carga total contida em um feixe de elétrons de 2 cm de comprimento, de acordo com a imagem a seguir.

Pela figura, vemos que a densidade de carga é \rho_v=-5\times10^{-6}e^{-10^{5}\rho z}\text{C/m}^3.

O volume diferencial em coordenadas cilíndricas é dado por:

Q=\int_{0,02}^{0,04}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{0,01}-5\times10^{-6}e^{-10^{5}\rho z}\rho\: d\rho\:d\phi\:dz

Integramos primeiro com relação a \phi, uma vez que isso é muito fácil;

Q=\int_{0,02}^{0,04}\int_{0}^{0,01}10^{-5}\pi e^{-10^{5}\rho z}\rho\: d\rho\:dz

Depois, em relação a z, porque isso simplificará a última integração com relação a \rho,

Q=\int_{0}^{0,01}\left( \frac{10^{-5}\pi}{-10^5\rho}e^{-10^{5}\rho z}\rho\: d\rho\:dz\right)^{z=0,04}_{z=0,02}

Q=\int_{0}^{0,01}-10^{-5}\pi(e^{-2000\rho}-e^{4000\rho})d\rho

Finalmente,

Q=-10^{-10}\pi\left( \frac{e^{-2000\rho}}{-2000}-\frac{e^{-4000\rho}}{-4000}\right)^{0,01}_{0}

Q=-10^{-10}\pi\left( \frac{1}{2000}-\frac{1}{4000}\right)

Q=\frac{-\pi}{40}

Q=0,0785\:\text{pC}

A contribuição incremental para intensidade de campo elétrico em \textbf{r} produzida por uma carga incremental \Delta Q em \textbf{r}´ é:

\Delta\textbf{E}(\textbf{r})=\frac{\Delta Q}{4\pi\epsilon_0|\textbf{r}-\textbf{r´}|^2}\frac{\textbf{r}-\textbf{r´}}{|\textbf{r}-\textbf{r´}|}=\frac{\rho_v\Delta v}{4\pi\epsilon_0|\textbf{r}-\textbf{r´}|^2}\frac{\textbf{r}-\textbf{r´}}{|\textbf{r}-\textbf{r´}|}

Se somarmos as contribuições de todas as cargas volumétricas em uma dada região e fizermos o elemento de volume \Delta v se aproximar de zero à medida que o número desses elementos se torna infinito, o somatório se torna integral,

\textbf{E}(\textbf{r})=\int_{\text{vol}}\frac{\rho_v(\textbf{r´})dv´}{4\pi\epsilon_0|\textbf{r}-\textbf{r´}|^2}\frac{\textbf{r}-\textbf{r´}}{|\textbf{r}-\textbf{r´}|}

Essa é novamente uma integral tripla e por isso é realizado o melhor possível para evitar essa integração.

Conclusão

O significado das várias grandezas sob o sinal de integração na última equação acima pode necessitar de uma pequena revisão. O vetor \textbf{r}, que parte da origem, posiciona o ponto de campo onde \textbf{E} está sendo determinado enquanto o vetor \textbf{r}´ se estende da origem até o ponto da fonte, onde \rho_v(\textbf{r}´)dv´ está posicionado.

A distância escalar entre o ponto de fonte e o ponto de campo é |\textbf{r}-\textbf{r´}| e a fração (\textbf{r}-\textbf{r´})/|\textbf{r}-\textbf{r´}| é um vetor unitário que aponta do ponto de fonte em direção ao ponto de campo. As variáveis de integração são x’, y’ e z’, em coordenadas cartesianas.